Title Radical isogenies and modular curves Title (croatian) Radikalne izogenije i modularne krivulje Author Valentina Pribanić Mentor Matija Kazalicki (mentor)Committee member Filip Najman (predsjednik povjerenstva)Committee member Matija Kazalicki (član povjerenstva)Committee member Nikola Adžaga (član povjerenstva)Committee member Andrej Dujella (član povjerenstva)Granter University of Zagreb Defense date and country 2024-06-11, Croatia Scientific / art field, NATURAL SCIENCES Universal decimal classificationUDC ) 51 - Mathematics Abstract This thesis explores the connection between radical isogenies and modular curves. Radical isogenies are formulas designed to calculate chains of isogenies of fixed small degree \(N\), introduced by Castryck, Decru, and Vercauteren in [17]. One significant advantage of radical isogeny formulas over other formulas with a similar purpose is that they eliminate the need to generate a point of order \(N\) that generates the kernel of the isogeny. While the authors originally developed radical isogeny formulas using elliptic curves in Tate normal form, in [54] Onuki and Moriya proposed radical isogeny formulas of degrees 3 and 4 on Montgomery curves and attempted to obtain a less complex form of radical isogenies using enhanced elliptic and modular curves. In this thesis, we will first translate the original setup of radical isogenies in Tate normal form into the language of modular curves. Second, we will solve an open problem introduced by Onuki and Moriya regarding radical isogeny formulas on \(X_0(N)\). Chapter 1 provides the necessary background, definitions, and results regarding group theory, elliptic curves, modular curves, etc. Chapter 2 gives a short introduction to cryptography and an overview of post-quantum cryptography, mainly focusing on the isogeny-based post-quantum cryptography. Chapter 3 introduces radical isogenies and radical isogenies on Montgomery curves. The last two chapters are based on the author’s paper [58]. In Chapter 4, we generalize radical isogenies using modular curves. In the final Chapter 5, we extend the setting from the previous Chapter 4 to include the modular curve \(X_0(N)\) and discuss the existence of radical isogeny formulas in this extended setting.
Abstract (croatian) Ovaj rad istražuje vezu između radikalnih izogenija i modularnih krivulja. Radikalne izogenije su formule namijenjene izračunu lanaca izogenija, gdje je svaka izogenija u tom lancu malog, fiksnog stupnja \(N\). Ove formule se u literaturi prvi put pojavljuju 2020. godine u članku [17], autora Castrycka, Decrua i Vercauterena. Ono što razlikuje radikalne izogenije od sličnih formula iste namjene, je to da kod njih ne postoji potreba za poznavanjem ili generiranjem točke reda \(N\) na eliptičkoj krivulji koja generira jezgru izogenije. Radikalne izogenije su originalno razvijene za krivulje u Tateovoj normalnoj formi, a kasnije su Onuki i Moriya, u svom članku [54], pokazali da postoje i radikalne izogenije na Mongomeryjevim krivuljama stupnja 3 i 4, te su pokušali definirati jednostavniji oblik radikalnih izogenija koristeći teoriju modularnih i obogaćenih eliptičkih krivulja. Dva su glavna rezultata ovog rada. Prvo, pokazat ćemo da se radikalne izogenije u Tateovoj normalnoj formi mogu generalizirati koristeći jezik modularnih krivulja. Drugo, riješit ćemo otvoreni problem, koji se prvi put u literaturi pojavio u [54], a tiče se radikalnih izogenija na modularnoj krivulji \(X_0(N)\). U poglavlju 1 definiramo osnovne pojmove i rezultate potrebne za ostatak rada, a direktno vezane za teoriju grupa, eliptičke krivulje, modularne krivulje itd. U poglavlju 2 dan je pregled osnovnih pojmova povezanih s kriptografijom, gdje se posebno fokusiramo na post-kvantnu kriptografiju i post-kvantnu kriptografiju temeljenu na izogenijama. U poglavlju 3 definiramo radikalne izogenije i radikalne izogenije na Montgomeryjevim krivuljama. U zadnja dva poglavlja, koja prate autoričin članak [58], iskazujemo glavne rezultate ovog rada. U poglavlju 4 generaliziramo pojam radikalnih izogenija koristeći teoriju modularnih krivulja. Zatim, u zadnjem poglavlju 5, dodatno proširujemo generalizaciju iz poglavlja 4 kako bismo uključili i modularnu krivulju \(X_0(N)\), te razmatramo mogućnost postojanja radikalnih izogenija u tom proširenom kontekstu.
Keywords
elliptic curves
isogenies
modular curves
enhanced elliptic curves
isogenybased post-quantum cryptography
radical isogenies.
Keywords (croatian)
eliptičke krivulje
izogenije
modularne krivulje
obogaćene eliptičke krivulje
post-kvantna kriptografija bazirana na izogenijama
radikalne izogenije.
Language english URN:NBN urn:nbn:hr:217:217554 Promotion 2024 Study programme Title: Doctoral study Type of resource Text Extent vi, 108 str. File origin Born digital Access conditions Open access Terms of use Repository Repository of the Faculty of Science Created on 2024-06-27 09:39:26
