| Abstract | The highly nonlinear nature of the mechanical contact interaction, commonly
coupled with other sources of nonlinearities, presents a challenging task for numerical
modelling. With the increasing need for modelling multiphysics problems involving
contact phenomena, the Finite Volume Method has shown to be capable of solving
frictional contact problems with material and geometric nonlinearities. Since contact
interaction plays an important role in many applications, the development of more
accurate and efficient contact treatment procedures is essential.
The principal objective of this thesis’s is to develop a finite volume version of
the segment-to-segment contact-force calculation algorithm in which normal contact
pressure, governed by a penalty law, is integrated across the non-conformal
contact interface. Compared to the currently available pointwise contact algorithm,
it is shown that such an approach allows for higher accuracy while removing or
reducing some drawbacks of the pointwise calculation approach. Various aspects of
the penalty-based Neumann-Neumann coupling are discussed and a suitable contact
detection algorithm is proposed. To improve efficiency, an implicit version of the
Neumann-Neumann coupling is derived. Based on the presented results, such an approach
has shown to be a promising direction for future development. Additionally,
potential benefits of surface smoothing are analysed by incorporating the Nagata
surface interpolation within the pointwise contact algorithm.
The proposed contact algorithm is extensively tested using various benchmark
problems as well as industrial grade metal forming problems. The reported results
show a good agreement with available analytical or numerical results.
The thesis relies on the advance finite volume structural solver capable of describing
hyperelastic and hyperelastoplastic deformation of bodies in contact. The
description of such a class of structural solvers is given in detail. The implementation
of the proposed procedures is conducted within the foam–extend software
package, a community-driven fork of the open source OpenFOAM software. |
| Abstract (croatian) | Ovaj rad predstavlja numericki model za racunanje problema mehanickoga kontakta,
primjenom metode kontrolnih volumena. Razmatra se izotermalni kontakt s trenjem
uz pretpostavku velikih pomaka i deformačija te velikoga međusobnog klizanja
kontaktnih površina.
I Uvod
Problem mehaničkoga kontakta dvaju ili više deformabilnih tijela predmet je
istraživanja kontaktne mehanike, koja predstavlja zasebnu disčiplinu teorije elastičnosti.
Zbog visoke složenosti kontakta, razvijena analitička rješenja kontaktne
mehanike primjenjiva su samo za jednostavnije probleme kontakta, usprkos velikim
naporima uloženima od strane mnogih istraživača. Iz navedenoga razloga numeričke
metode predstavljaju alat visoke praktične važnosti jer omogučavaju rješavanje
izrazito složenih problema kontakta uz potpuni uvid u polja naprezanja i deformacija.
Primjena metode kontrolnih volumena u području mehanike deformabilnih tijela
započela je prije tri desetljeća. Danas se metoda kontrolnih volumena uspješno
primjenjuje na razne linearne i nelinearne probleme mehanike deformabilnih
tijela, te je u tome području prepoznata kao valjana alternativa znatno razvijenijoj
metodi konačnih elemenata. Razvoju metode kontrolnih volumena uvelike su
pomogla primijenjena znanja iz problematike mehanike fluida, a zbog sve većih zahtjeva
za modeliranjem zahtjevnih multifizičkih procesa, očekuje se daljnji razvoj i
njihova primjena na sve složenije probleme mehanike deformabilnih tijela. Prema
tome, razvoj numeričkih postupaka za točno i učinkovito modeliranje mehaničkoga
kontakta deformabilnih tijela od presudne je važnosti.
Prva primjena metode kontrolnih volumena na probleme kontakta osnivala se
na eksplicitnoj Dirichelt-Neumannovoj sprezi kontaktnih granica, kakva se koristi
u problemima interakcije fluida i deformabilnih tijela. Zbog određenih nedostataka
takvoga pristupa, daljnji razvoj je usmjeren na eksplicitnu Neumann-Neumannovu
spregu koja se osniva na metodi penalizacije. Takav pristup je korišten u [1, 2]
gdje se predlaže postupak, koji se oslanja na GGI (eng. Generalised Grid Interface)
interpolaciju [3] i izračun kontaktnog tlaka u čvorovima (vrhovima) mreže.
S obzirom na to da se pokazalo da postupak temeljen na Neumann-Neumannovoj
sprezi može pružiti zadovoljavajuću točnost i robusnost prilikom rješavanja zahtjevnih
kontaktnih problema, isti je prihvaćen u ovome radu s ciljem daljnjega unaprjđenja robusnosti, točnosti i učinkovitosti putem razvoja naprednijih postupaka
za obradu kontaktnih granica.
II Matematički model
Matematička formulacija problema kontakta zasniva se na načelima klasične
mehanike kontinuuma. Za opis deformačija i gibanja tijela u kontaktu koriste se
relačije kinematike kontinuuma. Kao posljediča kontaktne interakčije pojavljuju se
naprezanja na kontaktnim plohama i u unutrašnjosti tijela. U radu je dat pregled
osnovnih veličina mehanike kontinuuma, koje se koriste i za Lagrangeovu inkrementalnu
formulaciju integralnoga oblika zakona održanja količine gibanja. Veza
naprezanja i deformacija opisana je pomoću hiperelastičnoga i hiperelastično-plastičnog
materijalnoga modela. Nadalje, dat je opis kontaktnih kinematičkih veličina,
koje se koriste za definiciju kontaktnih uvjeta. Interakcija tijela u kontaktu opisana
je kontaktnim uvjetima, koji su podijeljeni na normalne i tangencijalne. Normalni
kontaktni uvjeti, poznati kao Hertz-Signorini-Moreauovi ili Karush-Kuhn-Tuckerovi
uvjeti, impliciraju tri temeljne zakonitosti koje moraju biti ispunjene, a to su nemogućnost
prodiranja tijela i ostvarivanja vlačnoga kontaktnog opterećenja te komplementarnost
opterećenja i kontaktnoga statusa.
Karush-Kuhn-Tuckerovi uvjeti koriste se i za formulaciju tangencijalnih uvjeta
prema odabranom zakonu trenja. U radu je korišten Coulombov zakon trenja za
određivanje smjera i iznosa sile trenja prema stanju prijanjanja i klizanja.
III Numerički model
Diskretizacija metodom kontrolnih volumena omogućava tretman kontaktne granice
pomoću nelinearnoga Neumannova ili Dirichletova graničnog uvjeta, ne oviseći
pritom direktno o odabranome materijalnom modelu ili diskretizacijskim shemama.
To je omogućilo korištenje naprednoga strukturnog rješavača, predloženog u [2],
namijenjenog za opisivanje velikih elastičnih i elastoplastičnih deformacija. U radu
je detaljno opisana takva klasa rješavača, koja se temelji na poliedarskoj metodi
kontrolnih volumena drugoga reda točnosti i na odvojenome postupku rješavanja.
Time su pokrivene ostale moguče inačice rješavača, za koje razvijene kontaktne
procedure mogu biti primijenjene. Diskretizacija prostornih integrala jednadžbe
količine gibanja, prikazana je pojedinačno te je pojašnjena implementacija osnovnih
graničnih uvjeta. Posebna pozornost je data postupku rješavanja i postupku pomicanja
čvorova mreže. Kako bi se ukazalo na moguće nedostatke, dat je kratak osvrt
na alternativne metode diskretizacije i postupke rješavanja.
U sklopu eksplicitne Neumann-Neumannove sprege predložen je segmentni postupak
za računanje kontaktnih sila na temelju metode penalizacije. Segmentni se
postupak temelji na integraciji kontaktnoga tlaka na nekomfornome kontaktnom
sučelju. Naspram čvornoga postupka pokazano je da takav segmentni pristup rezultira
većom točnošću, manjim oscilacijama kontaktne sile i simetričnim tretmanom
kontakta. Kako bi se povečala efikasnost postupka rješavanja, razmotrena
je implicitna Neumann-Neumannova sprega, koja je implementirana pomoću novorazvijenoga
segmentnog postupka. Rezultati pokazuju kako implicitna sprega može
značajno poboljšati efikasnost postupka rješavanja—uz očuvanje iste razine točnosti.
Međutim, potreban je daljnji razvoj implicitne sprege kako bi ona imala istu robusnost
kao i eksplicitna izvedba. Razmotrena je i mogućnost zaglađivanja kontaktne
granice te je predložena metoda koja se osniva na Nagatovoj interpolaciji, koja po
svojim karakteristikama najviše odgovara korištenju u sklopu metode kontrolnih volumena.
Zaglađivanje je implementirano u sklopu čvornoga postupka te su pokazane
moguće prednosti korištenja takvoga pristupa.
IV Rezultati
U svrhu detaljne analize robusnosti i točnosti predloženoga kontaktnog algoritma,
algoritam je testiran na brojnim verifikacijskim primjerima. Dobiveni rezultati
uspoređeni su s analitičkim i referentnim numeričkim rezultatima dostupnima
u obrađenoj literaturi. Naglasak je dat na rezoluciju proračunske mreže koja u
slučaju niske rezolucije može imati negativan utjecaj na robusnost i točnost kontaktnoga
algoritma. Iz navedenoga razloga, mnogi verifikacijski primjeri riješeni su s
niskom rezolucijom proračunske mreže i s različitim rezolucijama mreže. U prvome
setu verifikacijskih primjera razmatraju se problemi s malim deformacijama te je
pokazano vrlo dobro slaganje s dostupnim analitičkim rješenjima. U drugome setu
verifikacijskih primjera, razmotreni su primjeri iz literature koji su posebno osmišljeni
na način da je za njihovo uspješno rješavanje potreban kontaktni algoritam
visoke robusnosti i točnosti. Dobiveni rezultati ukazuju da je primjere moguće
riješiti uz zadovoljavajuće odstupanje od referentnih vrijednosti dobivenih metodom
konačnih elemenata. Konačno, treći skup verifikacijskih primjera uključuje zahtjevne
probleme obrade metala deformiranjem, uključujući vučenje žice, valjanje žice
i kompaktiranje snopa žica.
V Zaključak
Izrazito nelinearna priroda mehaničnoga kontakta, koja često dolazi u sklopu
s materijalnim i geometrijskim nelinearnostima, predstavlja izrazito zahtjevan zadatak
za numeričku analizu bilo koje vrste. U ovome je radu detaljno prikazano kako
metoda kontrolnih volumena može uspješno riješiti zahtjevne probleme mehaničkoga
kontakta, pružajući pritom zadovoljavajuću razinu točnosti i robusnosti. Razvojem
novih procedura za obradu kontaktnih graniča ostvaren je napredak u pogledu
točnosti, međutim treba naglasiti kako je daljnji razvoj nužan i kako prostora za
napredak ima. Također, kako bi se povečala primjenjivost metode, potrebno je razmotriti
teme poput trošenja, samokontakta ili termo-mehaničkog kontakta, koje
još uvijek nisu obrađene i zahtijevaju posebnu pažnju u daljnjemu razvoju. |
