Radical isogenies and modular curves

doktorski rad

• Naslov (hrvatski): Radikalne izogenije i modularne krivulje
• Autor: Valentina Pribanić
• Mentor: Matija Kazalicki (mentor)
• Član povjerenstva: Filip Najman (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Matija Kazalicki (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nikola Adžaga (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Andrej Dujella (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2024-06-11, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

This thesis explores the connection between radical isogenies and modular curves. Radical isogenies are formulas designed to calculate chains of isogenies of fixed small degree \(N\), introduced by Castryck, Decru, and Vercauteren in [17]. One significant advantage of radical isogeny formulas over other formulas with a similar purpose is that they eliminate the need to generate a point of order \(N\) that generates the kernel of the isogeny. While the authors originally developed radical isogeny formulas using elliptic curves in Tate normal form, in [54] Onuki and Moriya proposed radical isogeny formulas of degrees 3 and 4 on Montgomery curves and attempted to obtain a less complex form of radical isogenies using enhanced elliptic and modular curves. In this thesis, we will first translate the original setup of radical isogenies in Tate normal form into the language of modular curves. Second, we will solve an open problem introduced by Onuki and Moriya regarding radical isogeny formulas on \(X_0(N)\). Chapter 1 provides the necessary background, definitions, and results regarding group theory, elliptic curves, modular curves, etc. Chapter 2 gives a short introduction to cryptography and an overview of post-quantum cryptography, mainly focusing on the isogeny-based post-quantum cryptography. Chapter 3 introduces radical isogenies and radical isogenies on Montgomery curves. The last two chapters are based on the author’s paper [58]. In Chapter 4, we generalize radical isogenies using modular curves. In the final Chapter 5, we extend the setting from the previous Chapter 4 to include the modular curve \(X_0(N)\) and discuss the existence of radical isogeny formulas in this extended setting.

Sažetak (hrvatski)

Ovaj rad istražuje vezu između radikalnih izogenija i modularnih krivulja. Radikalne izogenije su formule namijenjene izračunu lanaca izogenija, gdje je svaka izogenija u tom lancu malog, fiksnog stupnja \(N\). Ove formule se u literaturi prvi put pojavljuju 2020. godine u članku [17], autora Castrycka, Decrua i Vercauterena. Ono što razlikuje radikalne izogenije od sličnih formula iste namjene, je to da kod njih ne postoji potreba za poznavanjem ili generiranjem točke reda \(N\) na eliptičkoj krivulji koja generira jezgru izogenije. Radikalne izogenije su originalno razvijene za krivulje u Tateovoj normalnoj formi, a kasnije su Onuki i Moriya, u svom članku [54], pokazali da postoje i radikalne izogenije na Mongomeryjevim krivuljama stupnja 3 i 4, te su pokušali definirati jednostavniji oblik radikalnih izogenija koristeći teoriju modularnih i obogaćenih eliptičkih krivulja. Dva su glavna rezultata ovog rada. Prvo, pokazat ćemo da se radikalne izogenije u Tateovoj normalnoj formi mogu generalizirati koristeći jezik modularnih krivulja. Drugo, riješit ćemo otvoreni problem, koji se prvi put u literaturi pojavio u [54], a tiče se radikalnih izogenija na modularnoj krivulji \(X_0(N)\). U poglavlju 1 definiramo osnovne pojmove i rezultate potrebne za ostatak rada, a direktno vezane za teoriju grupa, eliptičke krivulje, modularne krivulje itd. U poglavlju 2 dan je pregled osnovnih pojmova povezanih s kriptografijom, gdje se posebno fokusiramo na post-kvantnu kriptografiju i post-kvantnu kriptografiju temeljenu na izogenijama. U poglavlju 3 definiramo radikalne izogenije i radikalne izogenije na Montgomeryjevim krivuljama. U zadnja dva poglavlja, koja prate autoričin članak [58], iskazujemo glavne rezultate ovog rada. U poglavlju 4 generaliziramo pojam radikalnih izogenija koristeći teoriju modularnih krivulja. Zatim, u zadnjem poglavlju 5, dodatno proširujemo generalizaciju iz poglavlja 4 kako bismo uključili i modularnu krivulju \(X_0(N)\), te razmatramo mogućnost postojanja radikalnih izogenija u tom proširenom kontekstu.

• Ključne riječi: elliptic curves; isogenies; modular curves; enhanced elliptic curves; isogenybased post-quantum cryptography; radical isogenies.
• Ključne riječi (hrvatski): eliptičke krivulje; izogenije; modularne krivulje; obogaćene eliptičke krivulje; post-kvantna kriptografija bazirana na izogenijama; radikalne izogenije.
• Jezik: engleski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:217554
• Datum promocije: 2024
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: doktorski studij; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica u području prirodnih znanosti (dr. sc. natur.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: vi, 108 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Repozitorij: Repozitorij Prirodoslovno-matematičkog fakulteta
• Datum i vrijeme pohrane: 2024-06-27 09:39:26